Учим правильно рассуждать (Часть №5)

Учим правильно рассуждать (Часть №4)

И.В. ШАДРИНА,
Москва

Задача 14. Баба-Яга собирала в лесу мухоморы. На всех собранных ей мухоморах оказалось не более 117 крапинок, а на каждом мухоморе их было не менее 5. Хватит ли Бабе-Яге собранных мухоморов, если ей требуется не менее 24 мухоморов?

При решении этой задачи необходимо разобраться в значении слов не более, не менее. Не более 117 крапинок на всех мухоморах означает, что крапинок было либо 117, либо меньше 117. Число крапинок не менее 5 на каждом мухоморе означает, что их было 5 или больше, какой бы из собранных Бабой-Ягой мухоморов ни взять. Бабе- Яге требуется самое малое 24 мухомора, т.е. 24 или больше 24. Самое большое число мухоморов было бы в том случае, если бы крапинок на всех мухоморах было наибольшее из возможного, т.е. 117, а число крапинок на каждом мухоморе было наименьшим, т.е. 5.

В этом случае число собранных мухоморов не может превысить 23, 117 : 5 = 23 (ост. 2), так как мухоморов с двумя крапинками не было. Следовательно, ответ: нет, не хватит.

Задача 15. Во II классе вызвали по очереди Колю, Васю, Мишу, Степу и Гришу и каждому дали по примеру из таблицы умножения  Результат каждого последующего умножения оказался в полтора раза больше предыдущего. Какие числа перемножал Степа? (Квант. — 1994, № 3).

Чтобы увеличить число в полтора раза, надо прибавить к нему его половину. Это значит, что все произведения, полученные Колей, Васей, Мишей и Степой должны делиться на 2, так как все числа в таблице умножения целые. С другой стороны, каждое следующее произведение больше предыдущего.

Если произведение, полученное Колей, равно 4, то Вася должен получить 4 + 4 : 2 = 6, а Миша — 6 + 6 : 2 = 9. Но 9 на 2 не делится и поэтому условие задачи не выполняется  Если Коля получил в произведении 8, то следующие произведения таковы  8 + 8: 2 = 12, 12 + 12: 2 = 18, 18 + 18 : 2 = 27, что также не соответствует условию задачи. Так как 12 и 18 проверять уже не нужно, то проверим число 16. Получаем  16 + 16 : 2 = 24, 24 + 24 : 2 = 36, 36 + 36 : 2 = 54, 54 + 54 : 2 = 81. Таким образом  Степа перемножал числа, произведение которых равно 54, т.е. 6 и 9. Но пока считать задачу решенной полностью нельзя, так как могут оказаться и другие решения  Заметим, что начинать с произведения большего, чем 16, нельзя, так как последнее произведение 81, а это самое большое число в таблице умножения. Числа, делящиеся на 2 и меньшие 16, в таблице умножения следующие: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14. Из них мы не проверили только 2, 10 и 14. Легко видеть, что ни одно из них не подходит  так как 2 + 2 : 2 = 3, 10 + 10 : 2 = 15, 14 + 14 : 2 = 21. Таким образом, задача имеет единственное решение: Степа перемножал числа 6 и 9.

Можно заметить, что приведенные задачи требуют разного рода рассуждений. Например  задача 15 знакомит с методом перебора  который требует отчетливого выявления всех допустимых случаев и выбора тех, которые согласуются с условиями задачи. Задачи 12 и 13 требуют не столько построения последовательного рассуждения, сколько целостного понимания рассматриваемого процесса, а, значит, догадки, предсказываемой текстом. Выражения не больше, не меньше, по крайней мере практически не встречаются в школьных учебниках, но отчетливое понимание их смысла дает ключ к правильному оперированию неравенствами и решению не только математических задач. Это определяет ценность задач подобного рода. Их решение не только формирует умение правильно рассуждать, но и учит до конца продумывать незнакомые ситуации, не отступать перед трудностями, вселяет уверенность в свои силы.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *